MathProf - Fourier-Summen - Nullstellen - Extrema - Wendepunkte

 

Modul Fouriersummen

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Das kleine Unterprogramm [Analysis] - Reihen - Fourier-Summen ermöglicht die prinzipielle Analyse einer Summenbildung trigonometrischer Funktionen nach Fourier.

 

 

Als Fourier-Synthese wird der Aufbau eines Signals bezeichnet der sich aus periodisch verlaufenden Sinusfunktionen zusammensetzt. Jede periodisch verlaufende Funktion kann als Summe harmonischer Schwingungen (Sinus- und Cosinusfunktionen) beschrieben werden.

Bei einer in diesem Modul durchführbaren Summenbildung erfolgt die Bildung einer trigonometrischen Reihe durch bis zu 5 Einzelfunktionen, gemäß folgendem Zusammenhang:

 

mit n = 5

 

Das Programm stellt die resultierende Funktion f(x) dar und führt bei Bedarf eine Kurvendiskussion mit dieser durch.
 

 

 

Führen Sie Folgendes durch, um Fourier-Summen bilden und darstellen zu lassen:
 

1. Bedienen Sie die zur Verfügung stehenden Schieberegler für die Parameter a_k und b_k der Einzelfunktionen, um die Einflüsse dieser auf das Verhalten einer Funktion, die durch Summenbildung nach Fourier entsteht, zu untersuchen.
    

2. Durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema bzw. Wendepunkte legen Sie fest, ob eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion durchgeführt werden soll.
   
   Möchten Sie den zur Durchführung einer Kurvendiskussion festgelegten Untersuchungsbereich mit der Maus verändern, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Bereichsmarkierung und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts (je schmaler der Bereich gewählt wird, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    

3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:
 

• Nullstellen der ermittelten Funktion f(x) (N: Nullstelle)

• Extrema der ermittelten Funktion f(x) (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

• Wendepunkte der ermittelten Funktion f(x) (W: Wendepunkt)

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Beschriftung: Markierung und Nummerierung der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der mittels Kurvendiskussion ermittelten Punkte

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Fourier-Reihen

 

 

Werden die zur Verfügung stehenden Rollbalken wie folgt positioniert:

 

a[0]: 0 a[1]: 0 a[2]: 0 a[3]: 0,5 a[4]: 0,4 a[5]: 0,2

b[1]: -1,6 b[2]: 0,8 b[3]: 0 b[4]: 0 b[5]: 0

 

so stellt das Programm den Kurvenverlauf der resultierenden Funktion f(x) dar, welche durch die Aufsummierung einzelner Funktionen nach oben gezeigtem Prinzip durchgeführt wurde.
 

Nachdem die Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema und Wendepunkte aktiviert wurden, führt das Modul eine Kurvendiskussion mit der ermittelten Funktion f(x) durch und gibt für einen eingestellten Untersuchungsbereich -1 ≤ x ≤ 1 aus:

Nullstellen:	N (-0,439 / 0)	N (0,409 / 0)
Extrema:	T (-0,735 / -0,583) T (0,901 / -1,326)	H (0 / 1,1)
Wendepunkte:	W (-0,364 / 0,263)	W (0,418 / -0,004)

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Fourier-Reihen

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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