MathProf - Ebene - 3-Punkte - Form - Lagebeziehung - Punkt

MathProf - Mathematik-Software - Ebene in 3-Punkte-Form | Gerade | Schnittpunkt

Fachthema: Ebene in Dreipunkteform

MathProf - Vektorgeometrie und Vektoralgebra - Software für den interaktiven Mathematikunterricht, zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium und die Wissenschaft.

MathProf - Gerade - Raum - Punkt - 3D - Schnittwinkel - Abstand - Vektoren - Spurpunkte - Lage - Geradengleichung - Lagebeziehung - Vektoriell - Windschiefe Geraden - Ebene - Normalform - Normale - Normalenvektor - Gleichung - Koordinatenebenen - Ebenengleichung  - Kugel - Kugelgleichung - Polarebene - Schnittkreis - Schnittebene - Tangentialkegel - Tangentialebene - Polarebene - 3D - Formel - Winkel - Formel - Darstellen - Plotten - Graph - Rechner - Berechnen - Grafik - Zeichnen - Plotter

Online-Hilfe
für das Modul Analytische Geometrie (Vektorgeometrie)
zur Durchführung von Untersuchungen mit Ebenen im 3D-Koordinatensystem, beschrieben durch eine Ebenengleichung in 3-Punkte-Form sowie mit Geraden und Punkten im Raum.

Dieses Unterprogramm ermöglicht unter anderem die Analyse der Lagebeziehung zwischen einer Ebene, welche durch 3 Punkte definiert wurde, die auf ihr liegen sowie einer Gerade, welche in Zweipunkteform oder in Punkt-Richtungsform definert werden kann. 

Auch die Ermittlung vom Durchstoßpunkt Gerade-Ebene sowie von einem evtl. vorhandenen Schnittpunkt der Gerade und der Ebene kann veranlasst werden (Schnittpunkt Ebene-Gerade). Des Weiteren lässt das Umwandeln der Darstellungsform einer Ebene dieser Art in eine andere vollziehen.

Bei einer parallel liegenden Gerade und einer definierten Ebene erfolgt die Berechnung des Abstands Ebene-Gerade. Zudem wird das Berechnen sowie die Darstellung der Lotgerade, welche durch einen extern dieser Ebene liegenden Punkt verläuft, ermöglicht.

Des Weiteren erfolgt die Berechnung und die Darstellung vom Ortsvektor (Stützvektor), Richtungsvektor und Normalenvektor (Normalvektor) der entsprechenden Ebene sowie das Berechnen der Spurpunkte dieser. Der Abstand zwischen einem frei festlegbaren Punkt und der definierten Ebene kann ebenfalls berechnet werden (Abstand Punkt-Ebene).

Der ggf. vorhandene Schnittpunkt einer Ebene dieses Typs und einer Gerade wird vom Rechner ebenfalls ermittelt und der Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade wird ausgegeben.


Ein frei bewegbares und drehbares, dreidimensionales Koordinatensystem dieses 3D-Plotters ermöglicht die Durchführung interaktiver Analysen bzgl. Sachverhalten und relevanter Zusammenhänge zu diesem Fachthema. Auch die Ausführung verschiedener 3D-Animationen mit Gebilden dieser Art kann veranlasst werden.

Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.

MathProf - Software für interaktive Mathematik 

Weitere relevante Seiten zu diesem Programm


Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Startseite dieser Homepage.
 
Zur Startseite dieser Homepage
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zur Videoauswahl zu MathProf 5.0.
 
Zu den Videos zu MathProf 5.0
 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche können Sie eine kostenlose Demoversion des Programms MathProf 5.0 herunterladen.

Zum Download der Demoversion von MathProf 5.0
 

Themen und Stichworte zu diesem Modul:

Ebene - 3 Punkte - Ebene aus 3 Punkten - Ebene in 3-Punkte-Form - Drei-Punkte-Form - Ebene bestimmen - Ebene bilden - Gerade - Ebenengleichung in Drei-Punkte-Form - Winkel zwischen Gerade und Ebene - Spurpunkte - Gerade - Ebene darstellen - Abstand zwischen Gerade und Ebene - Ebene durch 3 Punkte - Dreidimensional - 3D - Simulator - Schnittpunkt Gerade Ebene - Schnitt Ebene Gerade - Lagebeziehung Punkt-Ebene - Richtungsvektor - Ortsvektor - Lotvektor - Normalenvektor - Spurpunkte berechnen - Lotgerade - Abstand einer Ebene vom Ursprung - Abstandsberechnung - Darstellung - Ebenen plotten - Formel - Ebenen zeichnen - Waagerechte Ebene - Senkrechte Ebene - Horizontale Ebene - Vertikale Ebene - Darstellen - Formel - Gleichung - Aufstellen - Erstellen - Geraden und Ebenen - Punkt auf Ebene - Punkte einer Ebene - Schnittpunkt - Punkte bestimmen - Abstand - Plot - Rechner - Berechnen - Bestimmen - Beispiel - Plotter - Graph - Grafik - Koordinaten - Zeichnen - Darstellen - Darstellung - Komplanare Vektoren - Komplanarität - Entfernung Punkt Ebene - Gegenseitige Lage - Lagebeziehung Ebene-Gerade - Ebenen umformen - Ebenen umwandeln

 
Durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Schaltfläche gelangen Sie zum Inhaltsverzeichnis der in MathProf 5.0 implementierten Module bzw. zur Bestellseite für das Programm.
 
Zum Inhaltsverzeichnis von MathProf 5.0 MathProf 5.0 bestellen
 

Ebene in 3-Punkte-Form - Gerade - Punkt

 

MathProf - Ebene - Drei Punkte - Gerade - Schnittpunkt - Windschief - Lagebeziehung Gerade - Ebene - Spurpunkte - Abstand - Gerade - Punkt  - Ebenen im Raum - Ebenengleichung - Durchstoßpunkt -Schnittpunkt Gerade Ebene - Vektorgeometrie - Abstand Ebene Gerade - Punkt und Ebene im Raum - Ebene durch 3 Punkte - Dreidimensional - 3D - Simulator - Schnitt Ebene Gerade - Lagebeziehung Punkt-Ebene - Richtungsvektor einer Ebene - Ortsvektor einer Ebene - Lotvektor - Normalenvektor einer Ebene - Spurpunkte berechnen - Lotgerade  - Abstand - Ursprung - Abstandsberechnung - Lage Gerade-Ebene - Rechner - Berechnen
Modul Ebene in Drei-Punkte-Form


 
Das Unterprogramm
[Vektoralgebra] - Ebene in 3-P-Form ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Ebenengleichungen in 3-Punkte-Form.

 

MathProf - Ebene - Drei-Punkte-Form - Lagebeziehung - Abstand - Durchstoßpunkt - Lotgerade - Spurpunkte - Rechner - Berechnen - Berechnung - Zeichnen

  

Die Anwendungsmöglichkeiten dieses Unterprogramms sind:

  • Eigenschaftsanalyse einer Ebene in 3-Punkte-Form
  • Darstellung einer Ebene in 3-Punkte-Form (sowie eines Punktes, oder einer Geraden)
  • Abstand Punkt - Ebene: Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene in 3-Punkte-Form
  • Ermittlung des Schnittpunkts und des Schnittwinkels einer Ebene in 3-Punkte-Form und einer Geraden
  • Ermittlung des Abstands einer Geraden zu einer Ebene in 3-Punkte-Form
  • Darstellung der Lotgerade durch einen Punkt auf eine Ebene in 3-Punkte-Form
 

Definitionsformen von Ebenen und Geraden (Ebenengleichung - Geradengleichung - Formel)

 
Mögliche Definitionsformen von Ebenen und Geraden in diesem Unterprogramm sind:


1. Parameterdarstellung einer Ebene in 3-Punkte-Form:

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 1


2. Parameterdarstellung einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form:

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 2


3. Parameterdarstellung einer Geraden in Zwei-Punkte-Form:

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 3
 

Zusammenhänge und Formeln

 
Formeln zu diesem Fachthema, die für eine Ebene in Normalenform sowie für eine Gerade in Punkt-Richtungs-Form anwendbar sind, sind nachfolgend gezeigt.


1. Abstand Punkt - Ebene:


Für den Abstand eines Punktes Q von einer Ebene in Normalen-Form gilt:
 

Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 4

rQ: Ortsvektor des Punktes Q

 

2. Abstand einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form von einer Ebene in Normalen-Form:


Für den Abstand einer Gerade in Punkt-Richtungsform von einer Ebene in Normalen-Form gilt:

Gleichung der Gerade:

 Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 5


Gleichung der Ebene:

 

 Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 6


Der Abstand der Gerade von der Ebene beträgt:
 

Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 7



3. Abstand zweier paralleler Ebenen:


Definitionsform der Ebene 1:


Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 9


Definitionsform der Ebene 2:


Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 9


Der Abstand der Ebene1 von der Ebene2 kann wie folgt berechnet werden:
 

Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 10



4. Schnittpunkt Ebene - Gerade:


Definitionsform der Gerade:

 Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 11
 

Definitionsform der Ebene (Normalenfom):

 

 Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 12


Der Schnittpunkt der Ebene und der Gerade kann wie folgt berechnet werden:


Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 13

Für den Schnittwinkel einer Ebene in Normalenform und einer Gerade in Punkt-Richtungsform gilt:


Ebene - Punkt - Richtung - Gleichung - 14


Zur Verwendung o.a. Vektorgleichungen sind die Darstellungsformen der Ebene in Normalenform und die der Gerade in Punkt-Richtungs-Form zu bringen.

 

Bedeutung der im Programm verwendeten Bezeichnungskürzel

 
Die Bedeutungen der im Programm verwendeten Bezeichungskürzel sind folgende:

E,E1,E2: Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
d: Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung, Abstand einer Geraden vom Koordinatenursprung
n,n1,n2: Normalenvektor einer Ebene
Sx,Sy,Sz: Spurpunkte einer Ebene, bzw. Gerade
SP: Schnittpunkt einer Ebene und einer Gerade, Schnittpunkt zweier Geraden
SW: Schnittwinkel zweier Ebenen, zweier Geraden, einer Geraden und einer Ebene
g,g1,g2: Gerade in 2-Punkte- oder Punkt-Richtungs-Form
α,β,γ: Neigungswinkel einer Geraden bzgl. entspr. Achsen
r,r1,r2: Ortsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
a,b: Richtungsvektor einer Geraden, oder einer Ebene
P,P1,P2,P3: Komplanare Punkte der Ebene
λ;μ: Parameterwerte für Richtungsvektoren einer Geraden, bzw. einer Ebene
g-E: Gerade - Ebene
g1-g2: Gerade 1 - Gerade 2
E1-E2: Ebene 1 - Ebene 2

 
 

Screenshots


MathProf - Ebene in Drei-Punkte-Form - Gerade - Schnittpunkt - Windschief - Lagebeziehung Gerade - Ebene - Spurpunkte - Abstand - Gerade - Punkt  - Ebenen im Raum - Ebenengleichung - Durchstoßpunkt - Ebene durch 3 Punkte - Schnittpunkt Gerade Ebene - Vektorgeometrie - Abstand Ebene Gerade - Rechner - Formel
Grafische Darstellung - Beispiel 1

MathProf - Ebene - 3 Punkte - Ebene aus 3 Punkten - Ebene in 3-Punkte-Form - Ebene bestimmen - Ebene bilden - Gerade - Ebenengleichung in Drei-Punkte-Form - Winkel zwischen Gerade und Ebene - Spurpunkte einer Ebene in Drei-Punkte-Form - Ebene-Gerade - Ebene darstellen - Ebenengleichung aufstellen - Durchstoßpunkt einer Gerade - Abstand - Rechner - Berechnen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 2

MathProf - Punkt und Ebene im Raum - Abstand zwischen Gerade und Ebene - Ebene durch 3 Punkte - Dreidimensional - 3D - Simulator - Schnittpunkt Gerade Ebene - Schnitt Ebene Gerade - Lagebeziehung Punkt-Ebene - Richtungsvektor einer Ebene - Ortsvektor einer Ebene - Lotvektor - Normalenvektor einer Ebene - Spurpunkte berechnen - Lotgerade  - Abstand einer Ebene vom Ursprung - Abstandsberechnung Punkt Ebene - Abstandsberechnung Gerade Ebene - Zeichnen von Ebenen im Raum - Lage Gerade-Ebene - Rechner - Berechnen - Zeichnen
Grafische Darstellung - Beispiel 3

 

Video

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen sind auf Youtube unter den folgenden Adressen abrufbar:

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im RaumStrecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-AchseRotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum IIAnalyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform IFlächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten IFlächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in ZylinderkoordinatenRaumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im RaumKugel und Gerade - Kugel - Ebene - PunktRaumgittermodelle
 

Darstellung einer Ebene in 3-Punkte-Form

 

 Um eine Ebene, welche in 3-Punkte-Form definiert ist, darstellen zu lassen, führen Sie Folgendes aus:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
     
  3. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Ebene beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1, P2 und P3 ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
 

Eigenschaftsanalyse einer Ebene in 3-Punkte-Form


MathProf - Ebene - Spurpunkte - Durchstoßpunkte - Abstand - Gerade - Normalenvektor - Rechner - Berechnen - Berechnung - Zeichnen

 
Die Untersuchung einer Ebene auf deren Eigenschaften können Sie durchführen, indem Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen:

 

  1. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene.
     
  2. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Ebene beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1, P2 und P3 ein.
     
  3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.



Nachfolgend aufgeführte Details einer Ebene in 3-Punkte-Form werden bei Durchführung einer Eigenschaftsanalyse errechnet:

  • Abstand d der Ebene vom Koordinatenursprung
  • Spurpunkte Sx,Sy,Sz (Durchstoßpunkte) der Ebene
  • Normalenvektor n der Ebene
  • Definition der Ebene in 3-Punkte-, Punkt-Richtungs-, Normalen-, sowie Koordinatenform
 

Abstand eines Punktes von einer Ebene in 3-Punkte-Form
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Vektoren - Ebene - Punkt - Durchstoßpunkt - Spurpunkte - Lagebeziehung - Ebenengleichung - Rechner - Berechnen - Berechnung - Zeichnen

 

 
Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:

 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Punkt.
     
  3. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Ebene beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1, P2 und P3 ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und legen Sie die Koordinatenwerte des Punktes P in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern (x,y,z) des Unterformulars fest.
     
  5. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  6. Möchten Sie sich die Lage des Punktes und der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.

 
Soll bei Ausgabe der Darstellung eine Strecke eingezeichnet werden, die vertikal auf der Ebene steht und durch Punkt P verläuft, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Abstandslinie.

 

Schnittpunkt, Schnittwinkel und Abstand einer Ebene in 3-Punkte-Form und einer Geraden
Berechnung und Darstellung

 

MathProf - Ebene - Gerade - Schnittpunkt - Schnittwinkel - Lagebeziehung - Abstand - Rechner - Berechnen - Berechnung - Zeichnen

 

Um Schnittpunkt, sowie Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene ermitteln zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

  1. Aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch.
     
  2. Möchten Sie die Lagen einer Ebene in 3-Punkte-Form und einer Geraden in 2-Punkte-Form analysieren, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in 2-P-Form. Um die Lagen einer Ebene in 3-Punkte-Form und einer Geraden in Punkt-Richtungs-Form zu untersuchen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Ebene und Gerade in P-R-Form.
     
  3. Geben Sie die Koordinatenwerte der Punkte, durch welche die Ebene beschrieben wird, in die hierfür vorgesehenen Felder P1, P2 und P3 ein.
     
  4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
     
  5. Geben Sie die Koeffizientenwerte, bzw. Punktkoordinaten der Vektoren der Geraden in die dafür vorgesehenen Felder im Unterformular ein.
     
  6. Bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Berechnen.
     
  7. Möchten Sie sich die Lagen der Gerade sowie der Ebene grafisch veranschaulichen, so bedienen Sie die im Unterformular zur Verfügung stehende Schaltfläche Darstellen.


Liegen Gerade und Ebene parallel, so ermittelt das Programm deren Abstand.

Hinweis:

Benötigen Sie Detailinformationen bezüglich der Eigenschaften einer Geraden mit welcher Berechnungen durchzuführen sind, so wählen Sie auf dem Eingabeformular zur Definition der Geraden den Menüpunkt Details.

 

Darstellungsbereich

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

  • Automatisch

  • Statisch

  1. Automatisch:
    Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
     

  2. Statisch:
    Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.
     

Darstellung - Optionen

 
Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

  • Geradenvektoren: Darstellung des Orts- und des Richtungsvektors der Geraden ein-/ausschalten
  • N-Vektor d. Ebene: Darstellung des Normalenvektors der Ebene ein-/ausschalten
  • Ebenenvektoren: Darstellung des Ortsvektors und der Richtungsvektoren der Ebene ein-/ausschalten
  • Beschriftung: Beschriftung dargestellter Vektoren und Punkte ein-/ausschalten
  • Abstandslinie: Darstellung der vertikalen Abstandslinie zwischen Ebene und Gerade ein-/ausschalten
  • Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien der Gerade ein-/ausschalten
  • Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten
  • Ebenenpkt.: Darstellung der Punkte, durch welche die Ebene definiert ist ein-/ausschalten 
 

Allgemein


Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

Weitere Themenbereiche

 

Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Gerade in 2-Punkte-Form (3D)

Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D)

Ebene in Normalen-Form (3D)

Ebene in Koordinaten-Form (3D)

Ebene - Ebene (3D)

Kugel - Ebene - Punkt (3D)

 

Beispiele


Beispiel 1 - Eigenschaften der Ebene in 3-Punkte-Form:

Es gilt, sich die Eigenschaften einer Ebene ausgeben zu lassen, welche durch die drei auf der Ebene liegende (komplanare) Punkte P1 (1 / -5 / -2), P2 (0 / 1 / 2) und P3 (3 / -4 / -6) beschrieben wird.


Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und einer Eingabe der Koordinatenwerte dreier auf der Ebene liegender Punkte, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise in Punkt-Richtungs-Form lautet:

 

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 15

 

Die Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise in Normalen-Form lautet:

 

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 16

 

Die Gleichung der Ebene in Koordinaten-Form lautet:

 

E: -28·X + 4·Y - 13·Z = -22

 

Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung beträgt d = 0,707.

Die Spurpunkte der Ebene E sind:

Sx (0,786 / 0 / 0)

Sy (0 / -5,5 / 0)

Sz (0 / 0 / 1,692)

 

Der Normalenvektor der Ebene E lautet:

 

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 17
 

Der Betrag des Normalenvektors der Ebene besitzt den Wert 31,129.

 

Beispiel 2 - Abstand eines Punkts von einer Ebene in 3-Punkte-Form:

Es gilt, den Abstand des Punkts P (0 / 0 / 0) von einer Ebene E in 3-Punkte-Form ermitteln zu lassen, welche durch die drei auf der Ebene liegenden Punkte P1 (0 / 2 / 0), P2 (-2 / -5 / 1) und P3 (3 / -4 / 0) beschrieben wird.


Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Punkt, der Eingabe der Koordinatenwerte dreier auf der Ebene liegender Punkte und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koordinatenwerte des Punkts P im Unterformular, ermittelt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen:

Der Abstand des Punktes P von der Ebene beträgt d = 0,178.

 

Beispiel 3 - Ebene in 3-Punkte-Form - Gerade in 2-Punkte-Form:

Es ist eine Analyse bzgl. der Lagen einer Ebene E in Punkt-Richtungs-Form, welche durch die drei auf ihr liegenden Punkte P1 (7 / -5 / -2), P2 (-2 / 0 / 4) und P3 (0 / -4 / 0) und einer Geraden, welche durch die Gleichung

Ebene - Drei - Punkte - Gleichung - 18

beschrieben wird durchzuführen.


Vorgehensweise und Lösung:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Ebene und Gerade in P-R-Form, der Eingabe der Koordinatenwerte der drei auf der Ebene liegenden Punkte, einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, sowie der Eingabe der Koeffizientenwerte zur Definition der Geraden in Punkt-Richtungs-Form im Unterformular zur Definition der Gerade g, gibt das Programm nach einem Klick auf die dortige Schaltfläche Berechnen aus:

Ebene und Gerade schneiden sich in Punkt SP (2,045 / -0,313 / 3,089).
Der Schnittwinkel von Ebene und Gerade beträgt 58,874°.

Nach einer Wahl des Menüpunkts Details im Unterformular zur Definition der Geraden erhalten Sie folgende Informationen bzgl. der Eigenschaften, der in Punkt-Richtungs-Form definierten Gerade.

Zwei Punkte, durch welche die Gerade g verläuft:

P1 (2 / 0 / 3)

P2 (3 / -7 / 5)
 

Die Richtungswinkel der Gerade g sind:

α = 82,179°

β = 162,285°

γ = 74,207°

 

Der Abstand der Gerade g vom Koordinatenursprung beträgt d = 3,437.
 

Die Spurpunkte der Gerade g sind:

Sx (0 / 14 / -1)

Sy (2 / 0 / 3)

Sz (0,5 / 10,5 / 0)
 

Weitere Screenshots zu diesem Modul

 

MathProf - Ebene - Ebenen - Geraden - Lagebeziehung - Spurpunkte - Vektorielle Gleichung - Vektorrechnung - Darstellen - Gleichung - Punkte - Beispiel - Lagebeziehungen - Abstand - Gerade - Punkt - Ebenengleichung - Schnittpunkt von Gerade und Ebene - Richtungsvektor - Stützvektor - Ortsvektor - Ebenen im Raum - Durchstoßpunkt - Ebene durch 3 Punkte - Schnittpunkt Gerade Ebene - Vektorgeometrie - Abstand Ebene Gerade - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 4

MathProf - Ebene - Ebenen - Geraden - Punkt - Lineare Algebra - Mathematik - Normalenform - Normalenvektor - Neigungswinkel - Durchstoßpunkt - Beispiel - Lagebeziehung - Abstand - Gerade - Punkt - Ebenengleichung - Schnittpunkt von Gerade und Ebene - Richtungsvektor - Stützvektor - Ortsvektor - Ebenen im Raum - Spurpunkte - Ebene durch 3 Punkte - Schnittpunkt Gerade Ebene - Abstand Ebene Gerade - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 5

MathProf - Ebene - Ebenen - Gerade - Geraden - Schnittpunkt - Schnittwinkel - Ortsvektor - Richtungsvektor - Windschief - Eigenschaften - Gleichung - Beispiel - Lagebeziehungen - Abstand - Gerade - Punkt - Ebenengleichung - Schnittpunkt von Gerade und Ebene - Richtungsvektor - Stützvektor - Ortsvektor - Ebenen im Raum - Durchstoßpunkt - Spurpunkte - Ebene durch 3 Punkte - Schnittpunkt Gerade Ebene - Abstand Ebene Gerade - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 6

MathProf - Ebenen plotten - Formel einer Ebene - Ebenen zeichnen - Waagerechte Ebene - Senkrechte Ebene - Horizontale Ebene - Vertikale Ebene - Ebene im Raum darstellen - Formel - Gleichung  - Geraden und Ebenen - Punkt auf Ebene - Punkte einer Ebene - Schnittpunkt - Abstand - Rechner - Berechnen - Bestimmen - Beispiel - Koordinaten - Zeichnen - Komplanare Vektoren - Komplanarität - Entfernung Punkt Ebene - Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden - Lagebeziehung Ebene-Gerade - Ebenen umformen - Ebenen umwandeln - Rechner - Berechnen
Grafische Darstellung - Beispiel 7

   
Screenshots und Kurzbeschreibungen einiger Module zu entsprechenden Themenbereichen

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  
Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ebenengleichung

Wikipedia - Dreipunkteform
Wikipedia - Normalenvektor
Wikipedia - Schnittpunkt einer Gerade und einer Ebene
 
Weitere implementierte Module zum Themenbereich Vektoralgebra


MathProf - Grafische Addition - Vektoren - Vektorgeometrie - Vektorielle Geometrie - Gerichtete Größe -  Koordinatengeometrie - Dreidimensional - 3D - Berechnungen im Vektorraum - Vektoren berechnen - Dreidimensionale Vektoren - Ortsvektor - Vektorsumme - Richtungsvektoren - Basisvektoren - Winkel im Raum - Winkelberechnungen - Vektoren im Raum - 3D-Vektoren - Resultierende - Räumlicher Vektor - Raum - Rechner - BerechnenMathProf - Vektoren - Addieren - Dreidimensionaler Vektor - Grafische Addition von Vektoren - Berechnen - Vektoren im R3 - Zeichnen - Vektoren im Raum - Vektorrechner - Koordinaten - Winkel - Koordinatenursprung - x y z Koordinaten - Vektoren grafisch addieren - Vektordarstellung dreidimensional - Rechner
 

Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Komponentendarstellung (3D) - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

Screenshot des Startfensters dieses Moduls
 

MathProf - Ebene - 3 Punkte - Bestimmen - Gerade - Winkel - Spurpunkte - Abstand - Punkt - Lotvektor - Lotgerade - Formel - Gleichung - Schnittpunkt - Abstand - Plot - Rechner - Berechnen - Bestimmen - Beispiel - Plotter - Graph - Grafik - Koordinaten - Zeichnen - Darstellen - Darstellung
Startfenster des Unterprogramms Ebene in 3-Punkte-Form
 

Screenshots weiterer Module von MathProf


MathProf - Normalenform - Normalform - Normalengleichung - Ebene - Gerade - Schnittpunkt  - Koordinatenebenen - Ebenengleichung - Durchstoßpunkt - Normalenvektor - Vektoren - N-Vektor - Berechnen - Rechner - Darstellung - Berechnung - Eigenschaften - Darstellen - Graph - Grafisch - Bild - Plotter - Gleichung - Abstand - Schnittwinkel - Vektorielle Gleichung
MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Ebene in Normalenform



MathProf - Parameterkurven - Parametergleichungen - Parameterdarstellung - Funktionen - Parametrisierte Kurven - Kurven - Grafisch - Graph - Darstellen - Plotter - Grafik - Animationen - Simulation - Rechner - Berechnen - Funktionsgraph - 2D - Plotten - Zeichnen - Kurvenplotter - Bild
MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

Screenshot eines Moduls von PhysProf
 

PhysProf - Adiabatische Zustandsänderung - Adiabatischer Prozess - Adiabatischer Vorgang - Adiabatische Expansion - Adiabatische Kompression - Zustandsänderungen - Adiabatengleichung - Adiabatenexponent - Thermische Zustandsgleichung -  Volumen - Druck - Temperatur - Diagramm - Adiabatische Arbeit - Expansion - Kompression - Rechner - Berechnen - Gleichung - Simulation - Darstellen - Garfisch - Grafik
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik


SimPlot - Animationen - Präsentationen - Grafiken - Schaubilder - Visualisierung - Programm - Interaktive Grafik - Bilder - Computeranimationen - Infografik - Software - Plotter - Rechner - Computersimulation - Darstellen - Technisch - Datenvisualisierung - Animationsprogramm - Wissenschaft - Technik
SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 
Unsere Produkte
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.
 
I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 
MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Vektoralgebra - Geometrie
 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.


Bilder zum Programm MathProf 5.0 - Analysis - Trigonometrie - Algebra - 3D-Mathematik - Stochastik - Vektoralgebra - 

Numerisch - Grafisch - Plotten - Graph


Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.

 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu MathProf 

5.0
 
 
 
 
II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv

 
PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

Bilder zum Programm PhysProf 1.1 - Mechanik - Elektrotechnik - Thermodynamik - Optik
 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.

 
Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum Inhaltsverzeichnis von PhysProf 1.1
 
Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu PhysProf 1.1
 

 
 


 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 
Bilder zum Programm SimPlot 1.0 - Zweidimensionale Grafiken, Simulationen - Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung - Gleichförmige Bewegung - Bewegung auf Kreisbahn - Kreisbahnbewegung - Bewegungssteuerung - Bewegung auf Kurvenbahn - Konstante Bewegung - Horizontale Translation - Vertikale Translation - Rotation um Punkt

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 
Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zum 

Inhaltsverzeichnis von SimPlot 1.0
 
Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

Zu Beispielen von SimPlot 1.0

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 
Zu den Videos zu SimPlot 1.0